확률변수의 기댓값

확률변수의 기댓값

• \(μ = E(x)\)로 가정. (모집단)

• covariance는 선형관계를 보여준다.
  x와 y는 독립이다 -> cov(x, y) = 0

Moment Generationg Functions

• 평균과 분산만으로 확률분포를 설명하기에는 부족하다.
  
• moment: \(μ_k′ = E(X^k), k ∈ ℤ+\)
• Var(x) = \(μ_2′ - μ_1′^2\)
• E(x) = \(μ_1′\)
• 모든 k에 대해 검증 불가 => mgf(moment generating function)
• mgf: \(M_X(t) = E(e^{tx})\)

1. \(M_X(t) = 1 + tμ_1′ + \frac{t^2}{2!}μ_2′ + \frac{t^3}{3!}μ_3′ + ...\)

2. \(M′(t) = μ_1′ + \frac{2t}{2!}μ_2′ + \frac{3t^2}{3!}μ_3′ + ...\)

3. \(M′(0) = μ_1′\)

4. \(M′′(0) = μ_2′\)

5. \(M^{(k)}(0) = μ_k′\)