중심 극한 정리

중심 극한 정리

평군이 μ이고, 분산이 \(σ^2\)인 모집단으로부터 추출한 확률표본 \(X_1, X_2, ..., X_n\)의 표본평균 \(\bar{X}\)의 분포

1. 모집단의 분포와 상관 없이 \(E(\bar{X}) = μ\), \(Var(\bar{X}) = \frac{σ^2}{n}\)

2. 정규 모집단일 경우 \(\bar{X}\)가 정규분포를 따름

   정규 모집단이 아닐 경우
   \(n \geq 30\) 이면 중심극한정리에 의해 \(\bar{X}\)는 정규분포에 근사됨. (모집단의 skewed에 따라 더 큰 n이 필요할 수 있음)
   ∴ \(\bar{X} \sim N(μ, \frac{σ^2}{n}), \frac{\bar{X} - μ}{σ/\sqrt{n}} \sim N(0, 1^2)\)
   모집단의 분포가 이산, 연속 분포일 때 모두 적용 가능하다.

이항분포의 정규근사