연속형 확률분포

확률과 통계

공개

2024년 11월 5일

Uniform Distribution

정의: 구간 [a,b]에서 모든 구간의 길이에 대해 확률이 동일한 분포

표기: \(X \sim U(a,b)\)

\(f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b\)

\(E(x) = \frac{a+b}{2}\)

\(Var(x) = \frac{(b-a)^2}{12}\)

\(m(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}\)

정의: 평균 \(\mu\), 분산 \(\sigma^2\)을 가지는 연속형 확률분포

표기: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

μ ± σ 에서 변곡점을 가짐

0보다 크고, 대칭이 아니고 왼쪽으로 치우친 분포

표기: \(X \sim Γ(α,θ), x > 0\)

\(E(x) = αθ\)

\(Var(x) = αθ^2\)

\(m(t) = \frac{1}{(1-\theta t)^\alpha}, t < \frac{1}{\theta}\)

α는 분포의 형태를 결정하기 때문에 형상 모수 (shape parameter)라고 함

α가 커질 수록 분포가 정규분포에 가까워짐

θ는 분포의 크기를 결정하기 때문에 척도 모수 (scale parameter)라고 함

θ가 커질 수록 높이가 낮아지고 평평해짐

α = ν/2, θ = 2인 감마분포

자유도 ν에 따라 모양이 변함: 커질수록 정규분포에 가까워짐

표기: \(X \sim χ^2(ν)\)

\(E(x) = ν\)

\(Var(x) = 2ν\)

α = 1, \(λ = \frac{1}{\theta}\)인 감마분포

Poisson 분포에서 사건 발생 사이의 시간을 나타낼 수 있음

표기: \(X \sim Exp(λ)\)

\(f(x) = λe^{-λx}, x \geq 0\)

\(E(x) = \frac{1}{λ}\)

\(Var(x) = \frac{1}{λ^2}\)

\(P(X > x) = e^{-λx}\)

\(P(X > x + y | X > x) = P(X > y) = e^{-λy}\)

포아송분포에서의 \(\frac{1}{λ}\)와 동일

비기억 특성을 가짐

독립적으로 동일한 지수분포의 합은 감마분포 \(Γ(n, \frac{1}{\lambda})\)를 따름