Intro

OR
학부 정리
공개

2025년 3월 7일

Business Analytics

  • Data Analysis
    • Descriptive Analytics: What happened?
    • Predictive Analytics: What will happen?
  • Operations Research
    • Prescriptive Analytics: What should we do? (Optimization)

Process of OR Study

flowchart LR
  A(Collect data) --> B(Define the problem)
  B --> C{Data are sufficient?}
  C -->|No| A
  C -->|Yes| D(Formulate a model)
  D --> E(Solve the model)
  E --> F{Model is good?}
  F -->|Yes| G(Interpret results make suggestions)
  F -->|No| D

LP Model (표준형)

  • 제한된 자원을 경쟁하는 활동들에게 가능한 최적으로 분배하거나 이와 비슷한 수학적 구조를 가진 문제를 다루는 방법
\[\begin{aligned} max & \sum_{i=1}^{n} c_i x_i \\ s.t. & \sum_{i=1}^{n} a_{ij} x_i \leq b_j, j ≤ m \\ & x_1, x_2, ..., x_n ≥ 0 \end{aligned}\]

LP의 가정

  • 선형계획은 현실을 단순화한 모델로, 아래의 네 가지 가정이 완벽히 맞지 않을 수 있음.
  • 작은 불일치는 허용 가능하며, 민감도 분석으로 보완.
  • 심각한 위반 시 대안 모델(비선형계획, 정수계획 등)을 사용하나, 선형계획의 강력한 알고리즘이 유리하므로 초기 분석에 활용 후 필요 시 복잡한 모델로 전환.
  1. 비례성(Proportionality)
    • 정의: 목적함수와 제약식에서 활동 수준(예: xx)에 대한 기여도가 선형(비례적)으로 표현됨.
    • 위반 사례:
      1. 초기 투자비용(고정비용)이 있어 \(Z=3x_1−1\)이 되는 경우, 비례성이 깨짐.
      2. 규모의 경제로 한계 이익이 증가하면 비례성이 위반됨.
      3. 한계 이익이 감소(예: 마케팅 비용 증가)하면 역시 비례성이 깨짐.
    • 대안: 비례성이 깨지면 비선형계획(12장)이나 혼합정수계획(11장)을 고려.
  2. 가합성(Additivity)
    • 정의: 목적함수와 제약식의 값이 각 활동의 개별 기여도의 합으로 표현됨. 즉, 변수 간 교차곱이 없음.
    • 위반 사례:
      1. 제품 간 보완적 상호작용(예: 공동 광고 효과)으로 \(Z=3x_1+5x_2+x_1x_2\)가 됨.
      2. 경쟁적 상호작용(예: 설비 공유로 비효율 발생)으로 \(Z=3x_1+5x_2−x_1x_2\)가 됨.
    • 대안: 가합성이 위반되면 비선형계획(12장)으로 전환.
  3. 가분성(Divisibility)
    • 정의: 의사결정 변수가 실수 값을 가질 수 있음. 즉, 활동 수준이 정수로 제한되지 않음.
    • 위반 사례: 변수가 정수로 제한되면(예: 배치 단위가 1, 2, 3만 가능) 가분성이 깨짐.
    • 대안: 정수계획(11장) 사용.
  4. 확실성(Certainty)
    • 정의: 모델의 매개변수(예: \(c_j, a_{ij}, b_i\))가 알려진 상수로 고정. 해당 상수는 미래 예측에 기반하므로 불확실성이 존재.
    • 대응: 불확실성이 크면 민감도 분석(6.7절)으로 최적해의 변화를 확인하거나, 확률변수를 도입한 모델(23장) 사용.
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