vector dot product, cross product

Dot Product

• \(v ⋅ w = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i\)

Properties

• \(v ⋅ w = w ⋅ v\)
• \(v ⋅ (w + u) = v ⋅ w + v ⋅ u\)
• \(v ⋅ (c w) = c (v ⋅ w)\)

Length of vector

• \(||v|| = \sqrt{v ⋅ v}\)

Some properties

for non-zero vectors \(v\) and \(w\):

cauchy-schwarz inequality

• \(|v ⋅ w| ≤ ||v|| ||w||\)
• \(|v ⋅ w| = ||v|| ||w||\) ⟺ \(v = cw\)

Triangle inequality

• \(||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||\)

Angle between vectors

• \(cosθ = \frac{v ⋅ w}{||v|| ||w||}\)
• if \(v\) and \(w\) are orthogonal, then \(v ⋅ w = 0\)

Cross Product

• only for 3D vectors

• get a vector that is orthogonal to both \(v\) and \(w\)

• \(v × w = (v_2 w_3 - v_3 w_2, v_3 w_1 - v_1 w_3, v_1 w_2 - v_2 w_1)\)

• \(sinθ = \frac{||v × w||}{||v|| ||w||}\)

• \(v × w = 0\) ⟺ \(v\) and \(w\) are parallel

• v와 w로 이루어진 평행사변형의 넓이는 \(||v × w||\)이다.

Triple product(lagrange identity)

• \(a x (b x c) = b(a ⋅ c) - c(a ⋅ b)\)

3차원의 평면에서 직선의 방정식

• 평면에 대한 법선벡터 \((a, b, c)\)와 평면 위의 한 점 \((x_p, y_p, z_p)\)이 주어졌을 때, 평면의 방정식은 다음과 같다.

• \(ax + by + cz = D\), \(D = ax_p + by_p + cz_p\)

• 평행한 평면은 a, b, c의 계수가 같은 평면이다.

• \(\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)은 평면과 점 \((x_0, y_0, z_0)\) 사이의 거리이다.