2-기초(2)

선형 대수
공개

2025년 1월 11일

행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다.

행렬의 곱을 바라보는 관점

  1. 내적으로 바라보기

\[ A = \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ a_3^T \end{bmatrix} \quad (a_x = \text{column vector}) \]

\[ AB = \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ a_3^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^Tb_1 & a_1^Tb_2 & a_1^Tb_3 \\ a_2^Tb_1 & a_2^Tb_2 & a_2^Tb_3 \\ a_3^Tb_1 & a_3^Tb_2 & a_3^Tb_3 \end{bmatrix} \]

  1. rank-1 matrix의 합

\[ AB = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1^T \\ b_2^T \\ b_3^T \end{bmatrix} = a_1^Tb_1 + a_2^Tb_2 + a_3^Tb_3 \]

  1. Column space로 바라보기

\[ Ax = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 \]

  1. Row space로 바라보기

\[ x^TA = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ a_3^T \end{bmatrix} = x_1a_1^T + x_2a_2^T + x_3a_3^T \]

span과 column space

  • column space: column vector들이 span하는 영역

  • span: linear combination으로 만들어지는 모든 벡터들의 집합

  • linear combination: vector들을 scalar 배 하고 더한 것

  • linear independent: span하는 vector들이 서로 독립적인 경우

    수학적 정의: \(a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n = 0\) 일 때 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0\) 인 경우

  • basis: 어떤 공간을 이루는 필수적인 구성요소 (linear independent, span)

항등행렬

\(AI = IA = A\)를 만족하는 행렬 \(I\)

역행렬

\(Ax = b\)를 만족하는 \(x\)를 찾는 것은 \(A^{-1}Ax = A^{-1}b\)를 만족하는 \(x\)를 찾는 것과 같다.

대각 행렬

diagonal을 제외한 모든 요소가 0인 행렬 (square, rectangular 모두 가능)

Orthogonal 행렬

행렬의 모든 column들이 orthonormal vector인 경우

\(Q^{-1} = Q^T\)

행렬의 rank

rank: 행렬이 가지는 independent한 column의 개수 → column space의 차원

rank(A) = rank(A^T)

  • full-column rank: 해가 없거나 한 개 존재
  • full-row rank: 해가 무한하다
  • full rank: 해가 한 개 있다.
  • rank-deficient: b가 column space에 속하지 않는 경우 해가 없고, 그렇지 않으면 해가 무한하다.

Null space

\(Ax = 0\)을 만족하는 모든 \(x\)의 집합

A가 m x n 행렬이라면, dim(N(A)) = n - rank(A)

null space와 row space는 orthogonal하다.

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