3-몰라

선형 대수
공개

2025년 1월 22일

가우스 조던 소거법

선형대수의 목표는 \(Ax = b\)에서 x를 찾는 것이다.

\[\begin{aligned} x + 2y \quad &= 4 \\ 2x + 5y \quad &= 9 \end{aligned}\]

이 수식을 다시 살펴보자. 위의 수식은 아래와 같이 적용할 수 있다.

\[\begin{aligned} 2x + 4y \quad &= 8 \\ 2x + 5y \quad &= 9 \end{aligned}\]

위의 열립방정식을 풀면 \(y = 1\)이라는 결과를 얻는다. 다시 \(y=1\)을 대입해서 \(x=2\)라는 값을 구할 수 있다.

이제 이를 matrix와 vector로 풀어보자.

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix} \]

이를 확장행렬로 표현하면 다음과 같다

\[ [A|b] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 4 \\ 2 & 5 & | & 9 \end{bmatrix} \]

이제 가우스 조던 소거법을 적용해보자

적용 순서는 다음과 같다.

  1. 양 변에 0이 아닌 상수배를 해준다.
  2. 상수배를 한 행을 다른행에 더하거나 뺀다.
  3. 행끼리 자리 바꾼다.

이에 맞춰서 위의 식을 풀이하면,

  1. 두 번째 행에서 첫 번째 행의 2배를 빼면

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix} \]

  1. 첫 번째 행에서 두 번째 행의 2배를 빼면

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix} \]

따라서 \(x = 2\), \(y = 1\)이라는 해를 얻을 수 있다.

즉 가우스조던 소거법은 왼쪽을 항등행렬로 만들고, 그 오른쪽에 있는 값이 답이되는 소거법이다.

역행렬 구하기

역행렬을 구할 수 있다면 x의 값을 쉽게 구할 수 있다. (\(x = A^{-1}b\))

가우스 조던 소거법을 이용해 역행렬을 구해보자.

\[ \begin{bmatrix} a & b & | & 1 & 0 \\ c & d & | & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} a & b & | & 1 & 0 \\ 0 & \frac{ad-bc}{a} & | & -\frac{c}{a} & 1 \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} a & b & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & -\frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} a & 0 & | & \frac{ad}{ad-bc} & \frac{-ab}{ad-bc} \\ 0 & 1 & | & -\frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} \\ 0 & 1 & | & -\frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix} \]

\[ ∴ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

invertible

역행렬이 존재할 경우 invertible하다고 한다.

  1. non singular matrix
  2. det(A) ≠ 0: ad - bc(determinant) = 0인 경우 역행렬이 존재하지 않는다.
  3. A가 full rank이다
  4. N(A) = 0

determinant

정사각행렬의 element로 scalar 값을 만드는 함

3 x 3 행렬의 det

\[ A= \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]

\(det(A) = a(ei - fh) - b(di-fg)+c(dh-eg)\)

Laplace expansion or cofactor expansion

properties

  1. det(A) = 0 이면 A is singular
  2. A가 rank-deficient 이면 det(A) = 0
  3. diagonal or triangular matrix, det(A) = 대각요소의 곱
  4. 항등행렬의 det=1
  5. det(cA) = \(c^ndet(A)\) (A = nxn)
  6. \(det(A^T) = det(A)\)
  7. det(AB) = det(A)det(B)
  8. \(\color{red}{det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}}\)
  9. \(\color{red}{det(A) = λ_1λ_2,...,λ_n}\)

Trace

정사각 행렬에 대해서만 정의되는 것, diagonal 전부 더함

\(tr(A) = \sum_{i=1}^{n}a_{ii}\)

  1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  2. tr(cA) = ctr(A)
  3. \(tr(A^T) = tr(A)\)
  4. tr(AB) = tr(BA)
  5. \(tr(a^Tb) = tr(ba^T)\)
  6. tr(ABCD) = tr(BCDA) = tr(CDAB) = tr(DABC) (cyclic property)
  7. \(tr(A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\)

최소자승법

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