Null space and Column space

Metrix vector product

1. See \(A\)’s column space as a set of vectors. → \(A\)’s column space is the set of all linear combinations of the columns of \(A\).
2. See \(B\)’s row space as a set of vectors.

Null space

\(N = \{x \in \mathbb{R}^n | Ax = 0\}\)

\(N\) is Null space of \(A\).

• N(A) = N(rref(A))

• if N(A) = {0}, then column vector of \(A\) is linearly independent. → column vector of \(A\) is not a basis for C(A) → pivot variable의 합이 free variable을 만든다. (redundant column)

• dim(N(A)) = nullity of A = # of free variables in rref(A)

Column Space

• C(A) = span(columns of A)
• rref(A)의 pivot variable의 column vector가 C(A)의 basis이다.

Column Space의 평면의 방정식

• \({\rightVectorBar{b} | A\rightVectorBar{x} = \rightVectorBar{b} ∧ \rightVectorBar{x} ∈ R^n}\)

• 위를 만족하는 기약행렬을 만들어, 해가 존재하도록 방정식을 구성하면 평면의 방정식을 구할 수 있다.

• 혹은 column space의 basis를 구하고, 이를 이용해 평면의 방정식을 구할 수 있다.

• \(R^n\)을 span하는 basis의 vector는 n개이다.