기말

벡터

12-5

• 매개방정식
• 대칭 방정식
• 직선과 점 사이의 거리: \(\frac{||P x v||}{||v||}\)

12-6

• 평면 방정식 구하는 법
  • 세 점이 주어졌을 때: 벡터 2개 만들어서 외적
• 두 평면의 사이각: \(cosθ = \frac{|n_1 · n_2|}{||n_1|| ||n_2||}\)
• 두 평면의 교선: z=0으로 놓고 연립방정식 풀어서 교점 구하기, 두 법선벡터의 외적 구해서 기울기 구하기
• 평면과 점 사이 거리: \(\frac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
• 평면과 직선의 사잇각: 법선 벡터와 직선의 사이각

편미분

13-4

• \(dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy\)
  • z의 근사오차.
  • z의 상대오차: \(\frac{dz}{z}\)
  • z의 백분비오차: \(\frac{dz}{z} * 100\)
• 실제 증가량: \(Δz\)

13-5

• \(\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}\)
• 음함수의 편도함수(x + y = 0 꼴): \(\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x}{f_y}\)

13-6

• f(x, y)의 점 \((x_0, y_0)\)에서 단위벡터 \(u=<a, b>\) 바향으로의 방향미분계수: \(D_uf(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)a + f_y(x_0, y_0)b\)
  • \(= ∇F(x_0, y_0) · u\)
• 단위 벡터라는 점에 주의
• \(∇F(x_0, y_0, z_0) = <x_0, y_0, z_0>\) 위치에서의 접평면의 기울기

13-7

• 최대 최소 판별:
  1. 후보 선정
     • 임계값: \(f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0\) 인 (a, b)
       • \(f_{xx}(a, b)f_{yy}(a, b) - (f_{xy}(a, b))^2 > 0\), 0보다 작으면 안장점
       • \(f_{xx}(a, b) > 0\) 이면 극소, \(f_{xx}(a, b) < 0\) 이면 극대
     • 경계값
     • 임계값, 경계값의 함수값 비교

다중 적분

14-1

• R = [0, 2] x [0, 3] 이면 \(\int_{0}^{2} \int_{0}^{3} f(x,y) dy dx\)
• 순서 상관 없음

14-2

• \(D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g_1(x) ≤ y ≤ g_2(x)}\) 이면 \(\int_{a}^{b} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy dx\)
  • y = g(x)
• \(D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h_1(y) ≤ x ≤ h_2(y)}\) 이면 \(\int_{c}^{d} \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) dx dy\)
  • x = h(y)
• 순서 유의
• 그냥 직사각형의 넓이는 f(x, y) = 1로 두고 계산

14-3

• r 추가해서 적분하면 됨

14-4

• A(S) = \(\iint_{R} \sqrt{1 + (f_x(x,y))^2 + (f_y(x,y))^2} dA\)

14-5

• 적분 순서: 미지수가 많은거 먼저
• z, y, x 순으로 범위 계산

14-6

• 원주 좌표계: (r, θ, z)
• 구면 좌표계: (ρ, θ, φ)
  • x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ
  • ϕ의 전체 범위는 0부터 π까지
• 넓이: \(ρ^2 sin ϕ\) 추가
• θ 범위 구할 때 x, y 범위 보기