무한 급수
기초공학수학
급수
- 유한급수: 유한한 항의 합
- 무한급수: 무한한 항의 합
- 부분합: n번째 항까지의 합
부분합을 구하기 쉬운 급수
- 기하급수
- |r| < 1일때 \(\frac{a}{1-r}\)로 수렴
- p 급수: \(\Sigma \frac{1}{n^p}\)
- p > 1이면 수렴, p <= 1이면 발산
급수의 수렴에 관한 정리
- 급수의 합과 scalar 곱은 급수가 수렴할 때만 정의된다.
- 부분합을 구하지 않고 수렴 발산을 판별해보자
\(\Sigma a_n\)이 수렴하면 \(\limit_{n \to \infty} a_n = 0\)이다.
- 대우 성립 (발산 판정법)
- 역은 성립 x (예: 조화급수)
- 수렴하면, 극한은 0이고, \(|a_n| < 1\)이라는 사실을 알 수 있다.
양항급수 \(\Sigma a_n\)의 부분합 \(S_n\)이 모든 n에 대하여 어떤 상수 k보다 작으면 이 급수는 수렴하며, 그 합은 k보다 크지 않다.
적분 판정법
- \(f(n) = a_n\)가 [1, \(\infty\))에서 양수이고 감소하는 함수라고 하자. 그러면 \(\Sigma_{n=1}^{\infty} f(n)\)가 수렴이면 \(\int_{1}^{\infty} f(x) dx\)는 수렴, 발산이면 발산한다.
- 꼭 1부터 시작 안해도 된다.
- \(f(n) = a_n\)가 [1, \(\infty\))에서 양수이고 감소하는 함수라고 하자. 그러면 \(\Sigma_{n=1}^{\infty} f(n)\)가 수렴이면 \(\int_{1}^{\infty} f(x) dx\)는 수렴, 발산이면 발산한다.
비교 판정법
- 양항급수 \(\Sigma a_n\), \(\Sigma b_n\)에 대하여 모든 n에 대하여 \(0 \leq a_n \leq b_n\)이라고 하자.
- 꼭 0부터 시작 안해도 된다.
- \(\Sigma b_n\)이 수렴하면 \(\Sigma a_n\)도 수렴한다.
- \(\Sigma a_n\)이 발산하면 \(\Sigma b_n\)도 발산한다.
비판정법
- 양항급수 \(\Sigma a_n\)에서 \(\limit_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\)이라고 하자.
- L < 1이면 급수는 수렴한다.
- L > 1이면 급수는 발산한다.
- L = 1이면 판정 불가
- 양항급수 \(\Sigma a_n\)에서 \(\limit_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\)이라고 하자.
근판정법
- 양항급수 \(\Sigma a_n\)에서 \(\limit_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\)이라고 하자.
- L < 1이면 급수는 수렴한다.
- L > 1이면 급수는 발산한다.
- L = 1이면 판정 불가
- 양항급수 \(\Sigma a_n\)에서 \(\limit_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\)이라고 하자.
교대급수 판정법
- 모든 자연수 n에 대하여 \(a_{n+1} ≤ a_n\)
- \(\limit_{n \to \infty} a_n = 0\)
- 위 두 조건을 만족하면 급수 \(\Sigma (-1)^{n+1} a_n\)는 수렴한다.
- 교대급수의 합 S에 대하여, \(|S - S_n| ≤ a_{n+1}\)
- 절대수렴하는 급수는 수렴한다.
문제 풀이 방법
- 일반항을 구한다.
- 기하급수면 기하급수 공식을 쓴다.
- p 급수면 p 급수 공식을 쓴다.
- 그 외 다음 단계로
- 일반항의 극한을 구한다.
- 존재하지 않거나 0이 아니면 발산
- 0이면 다음 단계로
- 양항급수이면
- 해당 급수보다 큰 수렴하는 급수를 찾아, 2번 정리로 푼다.
- 풀 수 없으면 감소하는 영역에서 적분 판정법을 쓴다.
- 풀 수 없으면 비교 판정법을 쓴다.