linear transformations

• Matrix vector product는 항상 linear transformation이다.
• kernel: \({x ∈ R^n | T(x) = 0}\)
• ker(T) = N(A)

PreRequest for linear transformation

• T(a + b) = T(a) + T(b)
• T(ca) = cT(a)

Transformation

• 표준 기저벡터가 어디로 이동하는지에 따라 변환을 정의한다.

• θ만큼 회전하는 A in \(R^2\)::

  • \(A = \begin{bmatrix} \cos θ & -\sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{bmatrix}\)

Projection

• \(proj_L(x) = \frac{x ⋅ v}{u ⋅ v} v\)
  • if v is unit vecotr, then \(proj_L(x) = (x ⋅ v) v\)
  • \(A = \begin{bmatrix} μ_1^2 & μ_2μ_1 \\ μ_1μ_2 & μ_2^2 \end{bmatrix}\)

합성곱

• 선형 변환의 합성곱 역시 선형 변환: 합성곱을 Ax로 표현 가능.
• 행렬의 곱은 결합법칙이 성립한다.
• 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다.
• 행렬의 곱은 분배법칙이 성립한다.