역함수와 역변환
선형 대수
함수의 역
- \(f\) is invertible ⟺ ∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X such that \(f(x) = y\), 즉 f는 전단사 함수이다.
- 전사: \(f(R^n) -> R^m, f(x) = Ax, C(A) = R^M\), 즉 rank(A) = m
- 단사: N(A) = {0}, 즉 Ax = 0의 해는 유일하다. = C(A)가 linearly independent이다.
- 즉, A는 정방행렬이다.
- 즉, A의 기약행렬은 I이다.
함수의 해집합
- Ax = b의 해집합은 Ax = 0의 해집합(Null space)을 특수해 만큼 평행 이동한 것과 같다.
행렬식
- 선형 변환 시 부피의 변화율과 방향을 나타낸다. (기존 부피에 행렬식의 절댓값을 곱한 것이 새로운 부피)
- n x n: row를 정해서, 그 row를 기준으로, \(a_{row 1}A_{row 1} - a_{row 2}A_{row 2} + ... + a_{row n}A_{row n}\)의 형태로 나타낼 수 있다.
- 부호는 checkerboard pattern을 따른다.
- 행렬의 scalar 곱은, 행렬식의 \(\text{scalar}^n\)
- 행렬의 특정 row끼리 더한 행렬의 행렬식은 두 행렬식의 합과 같다.
- duplicated row는 행렬식이 0이 된다. 즉, 역행렬이 존재하지 않는다.
- 따라서 한 행에 상수배를 해서 다른 행에 더해도 행렬식은 변하지 않는다.
- 상삼각행렬의 행렬식은 대각선 원소의 곱이다.