테일러 급수
기초공학수학
멱급수
변수 x가 붙은 무한급수
\(f(x) = \Sigma a_n (x-a)^n\) 꼴
- 급수의 수렴 공식을 이용해 해당 멱급수가 수렴하는 구간을 구할 수 있다.
- 적어도 한 점 x=a에서 수렴한다.
- 일반적으로 절대 비판정법을 많이 사용하고, 1, -1에서의 수렴 여부도 확인을 해줘야 한다.
멱급수 \(\Sigma a_nx^n\)이 \(x_0\)에서 수렴하면, \(|x| < |x_0|\)인 모든 x에 대하여 절대수렴한다.
멱급수 \(\Sigma a_nx^n\)이 \(x_0\)에서 발산하면, \(|x| > |x_0|\)인 모든 x에 대하여 발산한다.
수렴반경이 R > 0인 멱급수 \(\Sigma a_n (x-a)^n\)에 대하여, \(f(x) = \Sigma a_n (x-a)^n, |x-a| < R\)로 정의된 f(x)는 구간 (a - R, a + R)에서 미분가능하고, 부정적분을 가지며 다음이 성립한다.
- \(f'(x) = \Sigma_{n=1}^{\infty} n a_n (x-a)^{n-1}\)
- \(\int f(x) dx = C + \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{a_n (x-a)^{n+1}}{n+1}\)
테일러 급수
- \(f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n, |x - a| < R\)
- x = 0 에서의 테일러 급수를 맥클로린 급수라고 한다.
- p가 실수이고, \(|x| < 1\)이면, \((1 + x)^p = \Sigma{n=0}^{\infty} \binom{p}{n} x^n\)